[x_0 = \sqrt{-4} \cdot e^{i \pi (2 \cdot 0 + 1) / 3} = \sqrt{-4} \cdot e^{i \pi / 3}] [x_1 = \sqrt{-4} \cdot e^{i \pi (2 \cdot 1 + 1) / 3} = \sqrt{-4} \cdot e^{i \pi}] [x_2 = \sqrt{-4} \cdot e^{i \pi (2 \cdot 2 + 1) / 3} = \sqrt{-4} \cdot e^{i 5\pi / 3}]

对于x^3 - 4=0：

[x_0 = \sqrt{4} \cdot e^{i 2\pi 0 / 3} = \sqrt{4}] [x_1 = \sqrt{4} \cdot e^{i 2\pi 1 / 3} = \sqrt{4} \cdot e^{i 2\pi / 3}] [x_2 = \sqrt{4} \cdot e^{i 2\pi 2 / 3} = \sqrt{4} \cdot e^{i 4\pi / 3}]

这些解在复平面上的分布与b=1时的解相似，但在大小上有所不同。

对于二级文明大世界的的龙族而言，能够得到这样的阵法空间的能力，那都是亿万年下来总结出来的经验结晶，而对我们一群人来说就是1+1=2那么简单，简单到直接粗暴的用代数式就搞定了，方法如下哈。

解方程 (x^n = a)（其中 (a) 是任意复数，(n) 是正整数）时，根据代数基本定理，该方程在复数域内有且仅有 (n) 个解，这解释了为什么 (x^5 \pm 6 = 0) 这类方程会有五个复数解。

代数基本定理

代数基本定理指出，每个非零的、系数为复数的单变量多项式方程在复数域内至少有一个根。这意味着对于任何次数的多项式方程，它在复数域内都有相应次数的根，包括实数根和复数根。

复数解的来源

复数的性质：复数可以表示为 (a + bi) 的形式，其中 (a) 和 (b) 是实数，(i) 是虚数单位。复数也可以用极坐标形式表示，即 (re^{iθ})，其中 (r) 是复数的绝对值（模），而 (θ) 是复数的幅角（也就是复数和正实数轴之间的角度）。

复数的 (n) 次根：复数的 (n) 次根是通过将原复数的模开 (n) 次方，而将幅角除以 (n) 来找到的。然而，由于复数的幅角可以增加或减少 (2\pi) 的倍数而不改变复数本身（因为 (e^{i2\pi} = 1)），对于任意正整数 (k)，复数 (re^{i(θ + 2k\pi)}) 与 (re^{iθ}) 表示同一个复数。因此，当我们找 (n) 次根时，幅角 (\frac{θ + 2k\pi}{n}) 会给出不同的值，直到 (k) 达到 (n)。

为什么是五个解？

对于 (x^5 = a)，其中 (a) 是一个非零复数（如 (6) 或 (-6)），有五个不同的幅角 (\frac{θ + 2k\pi}{5})，其中 (k = 0, 1, 2, 3, 4)，每个 (k) 对应一个不同的复数解。因为 (k) 从 (0) 到 (n-1)（这里是 (5-1=4)）提供了 (n) 个不同的幅角，所以方程有五个解。

示例

对于 (x^5 = 6)，模 (r) 的 (5) 次根是 (\sqrt{6})，而幅角是从 (0) 到 (\frac{8\pi}{5})，以 (\frac{2\pi}{5}) 的间隔分布。这些不同的幅角产生五个不同的复数解，包括一个实数解（当 (k = 0) 时）和四个复数解。

结论

每个复数 (n) 次方程都会产生 (n) 个复数解，这是代数基本定理和复数的性质共同作用的结果。对于 (x^5 \pm 6 = 0)，这表示有五个解，它们在复平面上均匀分布成一个正五边形。

最后实验验证一下哈，就是一个大脑粗矿的龙族肌肉男设置的简单解:

解出 (x^5 \pm 6 = 0) 方程的五个复数解，需要利用复数的极坐标表示和复数的根的性质。这里我将针对 (x^5 - 6 = 0) 展示如何找到所有五个复数解，(x^5 + 6 = 0) 的情况非常类似。

小主，

解 (x^5 - 6 = 0)

给定方程 (x^5 = 6)，首先将6表示为复数的极坐标形式，即 (6 = 6 \cdot e^{i0})（这里考虑到6的复角为0，因为6是正实数）。

由于任何复数 (z = r \cdot e^{iθ}) 的 (n) 次根有 (n) 个值，这些值均匀分布在以原点为圆心，半径是 (r^{\frac{1}{n}}) 的圆上，且对应的复角以 (\frac{2\pi k}{n}) 的间隔分布，其中 (k = 0, 1, 2, ..., n-1)。

步骤分解

确定 (r) 的 (n) 次根： 对于 (x^5 = 6)，我们有 (r = 6) 和 (n = 5)，所以 (r^{\frac{1}{5}} = \sqrt{6})。

确定复角： 复角 (\theta) 为 (0)，所以每个根的复角为 (\theta + \frac{2\pi k}{n})。

计算根： 根据 (k = 0, 1, 2, 3, 4)，我们有：